Cadenas de markov con estados recurrentes

En esta clase de estados, habrá una distribución de suma de probabilidades que al correr del tiempo llegarán a un estado en el cual no sufrirá más modificaciones, es decir, se llegará a un estado estable.


Para tener una idea más clara sobre éste concepto, se muestra el siguiente ejemplo:

Tres laboratorios farmacéuticos (A,B y C)  que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogéneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente:

Este es un ejemplo de cadena de Markov irreductible y ergódica. Todos los estados son recurrentes y están comunicados entre sí, formando una sola clase. Hay solución de estado estable (reparto del mercado a largo plazo, independiente de la situación inicial).

En principio se debe tener presente a la matriz Po o la actual:

Siendo 0.3 la de A, 0.2 la de B y 0.5 la de C

Al multiplicar la matriz de transición con la matriz Po se irán generando las distintas distribuciones al correr el tiempo, como se muestra a continuación:

Existe otra forma de resolver esta clase de estados, llegando simplemente a la matriz estable, sin tener que hallar los demás Pn.

Haciendo L=[x y z]

LT=L

nos quedaría el siguiente sistema de ecuaciones

0.8x + 0.15y + 0.13z = x

0.1x + 0.82y + 0.12z = y

0.1x + 0.03 y + 0.75z = z

x + y + z = 1

Ésta última ecuación se coloca debido a que se debe complicar que la suma de las probabilidades debes ser exactamente igual a 1.

Al resolver este sistema de ecuaciones por el método que más le guste, obtendrá los mismos resultados de la matriz estable, es decir:

x=0.4165

y=0.3722

z=0.21131

Por lo que este método es práctico para los resultados a largo plazo.

Tomado de : Clase de investigación de operaciones dada por el Ingeniero Industrial Medardo González

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