Conceptualización
La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.
La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.
La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos.
JUEGO
Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.
ESTRATEGIA
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.
RESULTADOS DE LOS JUEGOS
El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.
FORMA NORMAL VS FORMA EXTENSIVA DE LOS JUEGOS
En juegos de forma normal, los jugadores mueven simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y finito, el juego puede ser representado por una matriz NxM (ver abajo). Un juego en forma extensiva especifica el orden completo de movimientos a través de la dirección del juego, generalmente en un árbol de juego.
JUEGOS NxM
Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M acciones posibles. En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el juego es fácilmente analizable. Los juegos NxM dan una idea de cómo puede verse la estructura de un juego mas complejo.
ESTRATEGIA DOMINANTE
Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.
Tomado de: www.econlink.com.ar/.../teoriadejuegos.shtml
Juegos de suma cero
Se dice que el juego tiene punto silla y a este número se le llama valor (v) del juego para el jugador fila. Una forma sencilla de determinar este punto es buscar un n´umero de la matriz que sea el menor en su fila y el mayor en su columna.
EJEMPLO
Supongamos que los dos grandes productores de agendas electrónicas se proponen
sacar al mercado un modelo nuevo con teléfono móvil incorporado. Pueden establecer
un convenio con cuatro de las compañías telefónicas y uno de los dos productores podría
desarrollar una compañía telefónica propia. La matriz de ganancias sería:
Vemos que en −5 hay un punto silla y corresponde a la elección de Entfone por parte de la compañía CASIE y de Windtel por parte de la compañía PAM. Este es un punto de equilibrio en el que ninguno de los jugadores puede beneficiarse con un cambio unilateral de estrategia. En este caso el equilibrio se logra asumiendo CASIE una pérdida de 5 como mal menor y PAM una ganancia segura de 5.
Juegos de suma cero para dos jugadores con estrategias aleatorizadas
Se analizarán ahora aquellos juegos que no tienen punto silla, que de hecho son mucho más frecuentes en la práctica. Para ello supongamos que dos personas van a jugar a pares o impares solamente con la posibilidad de sacar uno o dos dedos cada uno. Si la suma de ambos es par el jugador A pagará un euro al jugador B. En caso contrario será B el que pague a A. Por tanto la matriz de beneficios se puede expresar de la forma siguiente:
No hay punto silla. Eso significa que para cualquier decisión de estrategias hay un jugador que puede beneficiarse cambiando de estrategia unilateralmente. Si por ejemplo los dos sacan dos dedos el resultado sería par y ganaría B. Pero al cambiar A de estrategia pasaría a ganar A y por tanto a perder B.
Se determinarán ahora estrategias óptimas y el valor de este juego. Para ello se amplía
el conjunto de estrategias posibles. Hasta ahora se ha supuesto que cada vez que un jugador participa en un juego utilizará la misma estrategia. Ahora se permitirá que un jugador opte por una estrategia concreta en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidad. Este tipo de estrategias se denominan estrategias aleatorizadas o mixturas. En general podríamos representar una estrategia aleatorizada de A de la forma (x1, x2) y una de B de la forma (y1, y2). Esto quiere decir que si el jugador A utiliza la estrategia (x1, x2) sacará un dedo en el 100x1 % de las veces que juegue y dos en el resto (100x2 %). Por supuesto ha de verificarse que
SOLUCIÓN GRÁFICA
En el ejemplo anterior la ganancia esperada de A cuando B escoge 1 ser´a:
y en el caso de que B elija 2 la ganancia esperada de A ser´a:
En la Figura 1 se representan gr´aficamente ambas ganancias esperadas. Por tanto, suponiendo que el jugador B conoce la decisi´on de A, (x1, 1 − x1), la ganancia esperada de A vendrá determinada por la linea gruesa. De este modo el punto de corte ofrece a A garantías de una ganancia media mínima de cero. Este punto proporciona la mejor estrategia para A, (1/2, 1/2). El caso de B es totalmente sim´etrico produciendo ahora la Figura sgte. Ambas gráficas representan las ganancias medias de A. Por ese motivo B buscará minimizar la ganancia esperada de A, que conociendo de antemano la estrategia de B vendrá representada por la línea gruesa en la Figura 2. Se puede decir por tanto que en este juego el techo o nivel superior del jugador A coincide con el suelo o nivel inferior de B. Esto es algo general, de modo que siempre el suelo del jugador fila coincide con el techo del jugador columna. El valor común de ambos se denomina valor del juego para el jugador fila. Así, cualquier estrategia del jugador fila que garantice una ganancia esperada al menos igual al valor es una estrategia óptima para este jugador. Del mismo modo cualquier estrategia del jugador columna que garantice una pérdida esperada a lo sumo igual al valor es una estrategia óptima para el jugador columna. En el ejemplo el valor es cero y (1/2, 1/2) será una estrategia óptima para ambos. Además es única.
Supongamos que el jugador A escoge la estrategia (1/3, 2/3). Entonces escogiendo B dos
dedos garantiza que la ganancia media de A es negativa y por tanto su ganancia esperada
es positiva. Sería una estrategia óptima para B, pero no para A.
Selección de la estrategia de A
Selección de la estrategia de B
En caso de que existan más de dos estrategias por jugador, será necesario el uso de la programación lineal.
Tomado de: www.uclm.es/profesorado/jesuslopezfidalgo/juegos.pdf
Reducción de estrategias
En ciertos casos existirán ciertas estrategias que son dominantes sobre otras, ésto hará posible que se puedan reducir en la medida de lo posible, para así reducir el juego con sólo las estrategias que no sean dominantes sobre las demás.
Para tener una idea más clara de éste concepto, se muestra el siguiente ejemplo de reducción de estrategias:
Tomado de: clase de investigación de operaciones dada por el Ingeniero Industrial, Medardo González
